Salut,
Je me trouve dans les même galères que toi, avec la même moto.
Sur la mienne, je ne vois pas de filtre à essence. Donc je suppose que c'est pareil sur la tienne. Il est possible que le robinet en soit équipé, pour vérifier, il faut le démonter et voir si il est équipé d'une crépine.
ça pourrait être intéressant d'en monter un sur la durite d'alimentation si il n'y a vraiment rien.
Vu sur un autre sujet : oui, il est normal que la tige de starter ne rentre pas complétement dans le carbu, pareil sur la mienne.
Pour la bougie, prends celle qui est recommandé sur des sites de vente quand tu spécifies ta moto dans la recherche.
Pour ton soucis de carburation, vas y par étape.
Vérifie que ton débit d'essence est correct à la durite, éventuellement vidange le réservoir et ajoute un filtre pour repartir sur du propre.
Vu qu'elle démarre, pas de soucis d'allumage à priori.
Le reste se passe donc dans le carbu. Logiquement, les gicleurs principal et de ralenti sont à la bonne dimension, sauf si tu as un pot adaptable.
Commence par un niveau de cuve, c'est un peu la base. Il doit être compris entre 7.5mm et 9.5mm.
Ensuite l'aiguille (3/5 recommandé par la RTA)
Enfin, ajuste la vis de richesse (pilot screw, vis de richesse j'imagine), desserrée d'un tour et demi.
Si le soucis continu, il faudra peut être envisager de reconditionner le carburateur avec un kit
https://www.agpl.net/kits-reparation-carburateur/163873-yamaha-ttr-250-9906-kit-reparation-carburateur-1003-0823-3666016166801.html
Attention : le diaphragme de la pompe de reprise n'est pas compris dans le kit et c'est possiblement de là que vient le soucis.
Plus d'infos ici : https://www.manualedereparatie.info/fr/download/yamaha-ttr-250-l-Manuels-de-reparation.html
Chapitre 5, carburateur. C'est de là que viennent mes infos. C'est en anglais.